\section{Gearing}
\label{modelbestemmelse-gearing}
Begge motorer er, som beskrevet i afsnit \ref{beskrivelseafkransystem-mekaniskkonstruktion-motoroggear}, udstyret med gearing mellem motorakslen og hhv. slæde-wiren og last-wiren. I dette afsnit bestemmes en model for hver af de to gearinger.
\begin{wrapfigure}{r}{0.7\textwidth} % Den generelle gearingsopbygning.
\vspace{-20pt}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.65\textwidth]{billeder/modellering/gearing.pdf}
\end{center}
\vspace{-20pt}
\caption{Den generelle gearingsopbygning.}
\label{fig:modelbestemmelse-gearing}
\vspace{-10pt}
\end{wrapfigure}
Da de to gearinger har samme opbygning, med eneste forskel værende størrelsen af tandhjulene, gennemgåes her den generelle bestemmelse af modellen fra motorakslen, over udvekslingsakslen til wire-akslen. Modelbestemmelsen tager udgangspunkt i antagelser om tabsfrie wirer og remme. Figur \ref{fig:modelbestemmelse-gearing} viser gearingsopbygningen. Tandhjulet markeret med 1 er monteret direkte på motorakslen, tandhjulene 2 og 3 er sammen monteret på udvekslingsakslen og tandhjul 4 er sammen med wire-tromlen monteret på wire-akslen. Opbygningen giver to gearinger; én via remmen mellem tandhjul 1 og 2, kaldet N1, og én via remmen mellem tandhjul 3 og 4, kaldet N2.
\vspace{-9pt}

\begin{wrapfigure}{r}{0.35\textwidth} % Free body diagram for motorakslen.
\vspace{-20pt}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{billeder/modellering/freebodygearingmotor.pdf}
\end{center}
\vspace{-20pt}
\caption{Free body diagram for motorakslen.}
\label{fig:modelbestemmelse-freebodygearingmotor}
\vspace{-10pt}
\end{wrapfigure}
Modelbestemmelsen foregår på baggrund af free body diagrammer af de tre aksler, hvilket for motorakslen  ses på figur \ref{fig:modelbestemmelse-freebodygearingmotor}. Inertien $J_\text{m}$ er den samlede inerti for denne free body, hvilket indeholder motor-, aksel- og tandhjulsinertien. For udvekslingsakslen, som ses på figur \ref{fig:modelbestemmelse-freebodygearingudveksling}, indeholder $J_\text{u}$ inertien for akslen samt tandhjul 2 og 3. Inertien $J_\text{w}$ på free body diagrammet på figur \ref{fig:modelbestemmelse-freebodygearingwire} for wire-akslen indeholder aksel-, wire-tromle- og tandhjulsinerti.\\
Kraften $F_\text{N1}$ er påvirkningen mellem motor- og udvekslingsakslen, når den ene aksel driver den anden. Ligeledes er $F_\text{N2}$ påvirkningen mellem udvekslings- og wire-akslen. 
\begin{figure}[H] % Free body diagram for udvekslingsakslen. % Free body diagram for wire-akslen.
\begin{minipage}[b]{0.45\linewidth}
\centering
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{billeder/modellering/freebodygearingudveksling.pdf}
\caption{Free body diagram for udvekslingsakslen.}
\label{fig:modelbestemmelse-freebodygearingudveksling}
\end{minipage}
\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[b]{0.45\linewidth}
\centering
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{billeder/modellering/freebodygearingwire.pdf}
\caption{Free body diagram for wire-akslen.}
\label{fig:modelbestemmelse-freebodygearingwire}
\end{minipage}
\end{figure}
Figur \ref{fig:modelbestemmelse-freebodygearingmotor} giver anledning til opstilling af udtrykket i ligning \eqref{eq:freebodygearingmotor} for motorakslen.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:freebodygearingmotor}
J_\text{m} \cdot \dot{\omega}_\text{m} = \tau_\text{m} - B_\text{m} \cdot \omega_\text{m} - r_1 \cdot F_{\text{N1}}
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
Hvor: \= $J_\text{m}$ er den samlede motor-, aksel- og tandhjulsinerti [kg $\cdot$ m$^2$]\\
\> $\omega_\text{m}$ er omdrejningshastigheden på motorakslen (i tidligere afsnit benævnt $\omega_\text{e}$) [$\rhas$]\\
\> $\tau_\text{m}$ er motormomentet [N$\cdot$m]\\
\> $B_\text{m}$ er viskose friktionskoefficienten på motorakslen [$\nicefrac{\text{N} \cdot \text{s}}{\text{m}}$]\\
\> $r_1$ er radien af tandhjul 1 [m]\\
\> $F_\text{N1}$ er påvirkningskraften [N]
\end{tabbing}
Tilsvarende udtryk er i ligning \eqref{eq:freebodygearingudveksling} og ligning \eqref{eq:freebodygearingwire} opstillet på baggrund af free body diagrammer for udvekslings- og wire-akslen, som vist på henholdsvis figur \ref{fig:modelbestemmelse-freebodygearingudveksling} og \ref{fig:modelbestemmelse-freebodygearingwire}.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:freebodygearingudveksling}
J_\text{u} \cdot \dot{\omega}_\text{u} = r_2 \cdot F_{\text{N1}} - B_\text{u} \cdot \omega_\text{u} - r_3 \cdot F_{\text{N2}}\\\notag\\
\label{eq:freebodygearingwire}
J_\text{w} \cdot \dot{\omega}_\text{w} = r_4 \cdot F_{\text{N2}} - B_\text{w} \cdot \omega_\text{w}( - \tau_\text{w}
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
Hvor: \= $\tau_\text{w}$ er wire-momentet ($r_5 \cdot F_\text{w}$) [N$\cdot$m]\\
\end{tabbing}
Omdrejningshastigheden for udvekslings- og wire-akslen kan via gearingsforholdene udtrykkes ved omdrejningshastigheden af motorakslen. De to gearingsforhold bestemmes, som vist i ligning \eqref{eq:gearingsforholdn1} og ligning \eqref{eq:gearingsforholdn2}, med tandhjulenes specifikationer. 
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:gearingsforholdn1}
N1 = \frac{n_1}{n_2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{\omega_\text{u}}{\omega_\text{m}} = \frac{\dot{\omega}_\text{u}}{\dot{\omega}_\text{m}}\\\notag\\
\label{eq:gearingsforholdn2}
N2 = \frac{n_3}{n_4} = \frac{r_3}{r_4} = \frac{\omega_\text{w}}{\omega_\text{u}} = \frac{\dot{\omega}_\text{w}}{\dot{\omega}_\text{u}}
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
Hvor: \=$n_x$ er antallet af tænder på tandhjul x [-]
\end{tabbing}
\vspace{-9pt}
Det samlede gearingsforhold $N$ er, for bevægelse i x-aksens retning, produktet af $N1$ og $N2$. Når modellen bestemmes for bevægelse i y-aksens retning, er det samlede gearingsforhold dog $N = N1 \cdot N2 \cdot 0,5$. De ekstra 0,5 kommer fra måden, hvorpå wiren er monteret, da dette fungere som et trissesytem. Sammenhængen mellem omdrejningshastighederne er som udtrykt i ligning \eqref{eq:omdrejningshastighedern1} og ligning \eqref{eq:omdrejningshastighedern2}. 
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:omdrejningshastighedern1}
\omega_\text{u} = \omega_\text{m} \cdot \text{N1}\\\notag\\
\label{eq:omdrejningshastighedern2}
\omega_\text{w} = \omega_\text{m} \cdot \text{N1} \cdot \text{N2}
\end{IEEEeqnarray}
Disse benyttes, i samspil med udtryk for $F_{N1}$ og $F_{N2}$, isoleret i henholdsvis ligning \eqref{eq:freebodygearingudveksling} og ligning \eqref{eq:freebodygearingwire}, til at omskrive ligning \eqref{eq:freebodygearingmotor}, til udtrykket i ligning \eqref{eq:gearing}.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:gearing}
\tau_\text{m} = J_\text{gear} \cdot \dot{\omega}_\text{m} + B_\text{gear} \cdot \omega_\text{m} + \tau_\text{w} \cdot N
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
Hvor: \=$J_\text{gear}$ er den samlede inerti $\left( J_\text{m} + J_\text{u} \cdot N1^2 + J_\text{w} \cdot N1^2 \cdot N2^2 \right)$ [kg $\cdot$ m$^2$]\\
\>$B_\text{gear}$ er den samlede viskose friktionskoefficient  $\left( B_\text{m} + B_\text{u} \cdot N1^2 + B_\text{w} \cdot N1^2 \cdot N2^2 \right)$ [$\nicefrac{\text{N} \cdot \text{s}}{\text{m}}$]\\
\>$N$ er det samlede gearingsforhold [-]
\end{tabbing}
Udtryk \eqref{eq:gearing} beskriver sammenhængen mellem momentet på wire-akslen og momentet fra motoren, hvilket er endepunktet for modelbestemmelsen af gearingen. Dette forhold bliver benyttet til den samlede modelbestemmelse. 
